在正期望值的赌局或投资中，最优化资金投入比例的数学公式，以实现长期财富增长的最大化。
概述
凯利公式（Kelly Criterion）由贝尔实验室科学家约翰·凯利于1956年提出，最初用于信息论中的噪声信道传输，后被赌徒和投资者广泛应用于仓位管理。
凯利公式：f = (bp - q) / b*
其中：
- f* = 应投入的资金比例
- b = 赔率（赢时获得b倍本金）
- p = 获胜概率
- q = 失败概率（= 1-p）
老喻将凯利公式列为 EKB 决策算法三层次的第二层——对应”狮子”，象征决策的勇敢与智慧。
核心要点
- 解决”下注多少”的问题：期望值告诉你”是否值得投”，凯利公式告诉你”应该投多少”
- 过度投入会导致长期财富缩水：即使期望值为正，若投入比例超过凯利比例，长期复合增长率反而下降
- “半凯利”策略实用性强：现实中，由于概率和赔率估计存在误差，使用凯利公式结果的一半更为稳健
- 防止”一把梭”的决策纪律：凯利公式限制了最大仓位，避免过度集中带来的毁灭性损失
- 与复利密切相关：凯利公式本质上是让几何平均增长率（复利）最大化
凯利公式与投资实践
| 应用场景 | 凯利公式的作用 |
|---|---|
| 股票仓位管理 | 决定单只股票的最高仓位 |
| 组合构建 | 分散投资的科学依据 |
| 风险控制 | 即使判断正确也不满仓 |
| 资产配置 | 股债比例的理性锚点 |
伯克希尔哈撒韦的实践：巴菲特的资金运用策略，事实上暗合凯利逻辑——在最有把握的机会上重仓，但绝不赌上全部身家。
凯利公式揭示的复利本质
课程中的一个重要洞察：复利公式的真实增长率取决于资金使用比例。
如果一个机会能带来100%收益，但只用了10%的资金，整体复合增长率只有10%而非100%。反过来，用过多资金押注波动性大的标的，可能在某次极端亏损中”归零”，断送复利之路。
这是对”复利谎言”的修正：不是复利不重要，而是很多人忽视了资金使用比例对复利的根本影响。
常见误区
- 以为赢面大就该全仓：忽视了波动风险对几何平均增长率的侵蚀
- 不考虑估计误差：概率和赔率的预估往往偏乐观，实际应低于计算值
- 马丁格尔策略的诱惑：不断加倍下注的策略，表面上能”翻盘”，但指数级的资金需求会让投资者在市场回调前耗尽资金
- 只看单次收益率：凯利公式优化的是长期几何均值，不是单次算术均值
实战计算示例
标准凯利计算
假设某投资机会：
- 胜率(p) = 70%
- 赔率(b) = 2:1（涨1元赚2元，跌1元亏1元）
最优仓位 = (0.70 × 2 - 0.30) / 2 = (1.4 - 0.30) / 2 = 55%
巴菲特加强版凯利公式
在标准凯利公式基础上，巴菲特增加了两个调整因子：
案例：可口可乐投资（1988-1994）
| 步骤 | 内容 |
|---|---|
| 原始凯利计算 | 约60%仓位 |
| 能力圈折扣（×0.8） | 48% |
| 流动性缓冲（保留20%现金） | 最终约35-40%仓位 |
| 占伯克希尔组合比例 | 约35-40% |
| 10年回报 | 超过10倍 |
苹果投资（2016至今）
| 步骤 | 内容 |
|---|---|
| 原始凯利计算 | 高确定性机会 |
| 能力圈折扣（×0.8） | 80%仓位 |
| 流动性缓冲（保留20%现金） | 最终约40%+仓位 |
| 占伯克希尔组合比例 | 最高达40%+ |
| 结果 | 巴菲特最成功的投资之一 |
关键原则：即使最确定的机会，仓位也不应超过凯利计算值；永远保留部分现金作为缓冲。
相关概念
- 期望值思维 — 凯利公式的前提：只有在正期望值的情况下才有意义
- 贝叶斯定律 — 动态更新概率估计，使凯利公式更精准
- 风险管理 — 凯利公式是风险管理的定量工具
- 复利机器 — 凯利公式的目的正是最大化长期复利
- 长期投资 — 凯利公式的优越性需要在长期重复中体现
- 概率思维 — 凯利公式输入参数的概率估计依赖概率思维
- 资产配置 — 凯利公式是资产配置比例的数学依据
资料来源
- 老喻·决策算法100讲 — 得到课程，2024-2025
实验案例：那个让28%的人破产的硬币游戏
来源：Haghani & Dewey (2016)实验，Get笔记投资智库
实验设计
2016年，两位研究者设计了一个看似简单的实验：给参与者每人25美元，让他们在一个硬币游戏中下注。
游戏规则：
- 抛硬币，正面赢，反面输
- 赢了获得下注金额的2倍（赔率2:1）
- 输了失去下注金额
- 可以玩30分钟，每次下注金额自定
理论上最优策略：
- 期望值 = 0.5 × 2 - 0.5 × 1 = 0.5（每次下注期望收益为正）
- 按凯利公式，最优下注比例为25%
实验结果：
- 28%的参与者破产（本金归零）
- 只有21%的参与者获得了接近理论最优的收益
- 大多数人要么下注太保守，要么下注太激进
核心教训
| 错误策略 | 后果 |
|---|---|
| 下注太保守 | 错失正期望值的机会 |
| 下注太激进 | 单次大亏损可能清零，失去后续下注机会 |
| 随机下注 | 无法持续积累优势 |
关键洞察：即使是正期望值的游戏，如果不懂”赔率管理”，也会破产。
概率与赔率的辩证关系
投资决策的两个维度
| 维度 | 定义 | 作用 |
|---|---|---|
| 概率 | 事情发生的可能性 | 决定”是否下注” |
| 赔率 | 下注成功后的回报倍数 | 决定”下注多少” |
期望值公式
期望值 = 概率 × 赔率 - (1 - 概率) × 本金
| 期望值 | 决策 |
|---|---|
| > 0 | 值得下注 |
| = 0 | 可下可不下 |
| < 0 | 不应下注 |
应用示例
| 胜率 | 赔率 | 最优下注比例 |
|---|---|---|
| 60% | 2:1 | 40% |
| 50% | 3:1 | 33% |
| 70% | 1.5:1 | 23% |
“关键少数”的幂律分布
投资收益呈现典型的幂律分布：
- 少数几笔投资贡献了大部分收益
- 大多数投资对总收益的贡献很小
实践建议：
- 承认自己无法频繁做出高概率+高赔率的决策
- 当真正的机会出现时，敢于重仓
- 普通机会用小仓位或放弃
核心洞察汇总
- 概率决定方向，赔率决定仓位：高概率+高赔率才重仓，低概率或低赔率要谨慎
- 生存第一：任何时候都要保住继续下注的资本
- 耐心等待：真正的好机会稀少，大多数时候应该观望
- 长期视角：不追求单次完美，追求长期期望值最大化
凯利公式在UU环境下的挑战
来源：Richard Zeckhauser, “Investing in the Unknown and Unknowable” (2006)
UU环境与传统假设的冲突
凯利公式的标准应用假设：
- 概率已知或可估计
- 赔率已知或可估计
- 投资可即时变现
- 可以重复多次下注
但在UU环境下，这些假设都不成立：
| 假设 | UU环境现实 |
|---|---|
| 概率已知 | 无法分配概率 |
| 赔率已知 | 结果范围未知 |
| 即时变现 | 投资往往锁定期限 |
| 重复下注 | UU机会通常是一次性 |
泽克豪泽的警告
“即使我们知道如何投资于一串有利的赌局（每笔即时解决），那对我们UU投资几乎没有帮助，后者是一个困难得多的任务。”
UU投资的五个挑战：
- 流动性锁定：投资往往锁定期限，期限长度未知
- 变现折扣巨大：提前变现可能损失30%价值
- 模型假设失效：玩具问题（即时解决的投资）模型无法应用于真实世界
- 学术争议：即使是玩具问题也存在争议
- 资金管理困难：在不知何时需要追加资金的情况下管理资金
萨缪尔森的批评
诺贝尔奖得主保罗·萨缪尔森（1979）用全单音节词写了一篇论文批评凯利公式：
“He who acts in N plays to make his mean log of wealth as big as it can be made will, with odds that go to one as N soars, beat me who acts to meet my own tastes for risk.”
核心观点：
- 凯利公式假设对数效用函数
- 如果效用函数不同，凯利公式不是最优
- 风险中性投资者应在有利赌局上全仓（而非凯利比例）
泽克豪泽的投资优势箴言
Maxim B：预期收益越大（优势越大），应该投入的资本比例越大。
与凯利公式的区别：
- 凯利公式：计算精确比例
- 泽克豪泽：定性原则，优势大就多投
实践建议：
- 在UU环境下，无法精确计算概率和赔率
- 但可以判断优势大小
- 优势大的机会投入更多，优势小的投入更少
UU环境下的替代策略
| 维度 | 凯利公式 | UU替代 |
|---|---|---|
| 概率估计 | 精确计算 | 主观判断+安全边际 |
| 资金管理 | 最优比例 | 保守比例+流动性缓冲 |
| 重复投资 | 多次下注 | 识别少数高优势机会 |
| 风险控制 | 数学最优 | 生存优先 |
核心原则：在UU环境下，凯利公式的精神（优势大就多投）比公式本身更重要。